Question

已知函数f（x）=ax²+4x+b，（a＜0，b＜0，a，b∈Z），设关于x的方程f（x）=x的两实数根为α，β，且|α-β|=1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）问是否存在实数m，n（m＜n），使得f（x）的定义域和值域都是[m，n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据f（x）=x的两实根为α、β，可列出方程用a，b表示两根α，β，根据|α-β|=1，可求出a、b满足的关系式．根据a、b均为负整数，从而求出f（x）解析式；
（2）先假设存在实数m，n满足题意，对函数解析式进行配方后求出函数的最大值，进而求出n的范围，再判断出函数在区间上的单调性，结合值域列出方程组求解．

解答：解：（1）由于α，β方程为f（x）=x即ax²+3x+b=0的两实数根，
∴

α+β=- 3 a αβ= b a   |α-β|=1

∴a²+4ab-9=0；
∵a、b均为负整数，a²+4ab-9=0，
∴a（a+4b）=9，解得a=-1，b=-2．
∴f（x）=-x²+4x-2；
（2）假设存在实数m，n满足题意，
由题意得f（x）=-x²+4x-2=-（x-2）²+2，
∵函数f（x）的值域为[m，n]，∴m＜n≤2，
则区间[m，n]在对称轴x=2的左边，
∴函数f（x）在[m，n]单调递增，
∴

f(m)=m  f(n)=n

，即

-(m-2)2+2=m -(n-2)2+2=n

，
解得

m=1 n=2

，
故存在m=1，n=2满足题意．

点评：本题考查二次函数的综合运用，考查了确定函数式，方程与函数的关系，以及求一元二次方程的求根公式的应用．