Question

8．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是A₁D上的一点，且满足A₁P=2PD，下列命题正确的是（　　）

• A． 在CD₁上存在点Q，使得PQ∥平面AA₁C₁C
• B． 在CD₁上存在点Q，使得PQ⊥平面AA₁C₁C
• C． 在CD₁上存在点Q，使得PQ∥平面A₁BC₁
• D． 在CD₁上存在点Q，使得PQ⊥平面A₁BC₁

Answer 1

分析 过P作PM⊥AD于M，过Q作QN⊥CD于N，连结MN，则当MN∥AC时，平面PMNQ∥平面AA₁C₁C，故PQ∥平面平面AA₁C₁C．

解答 解：当D₁Q=$\frac{1}{3}$D₁C时，过P作PM⊥AD于M，过Q作QN⊥CD于N连结MN，
则$\frac{DM}{DA}=\frac{PD}{D{A}_{1}}=\frac{1}{3}$，$\frac{CN}{CD}=\frac{CQ}{C{D}_{1}}=\frac{2}{3}$，∴$\frac{DN}{DC}=\frac{1}{3}$．
∴$\frac{DM}{DA}=\frac{DN}{DC}$，
∴MN∥AC，又PM∥A₁A，PM?平面PMNQ，MN?平面PMNQ，AA₁?平面AA₁C₁C，AC?平面AA₁C₁C，PM∩MN=M，A₁A∩AC=A，
∴平面PMNQ∥平面AA₁C₁C，
∵PQ?平面PMNQ，
∴PQ∥平面平面AA₁C₁C
故选：A．

点评 本题考查了线面位置关系的判断，构造平行线或平行平面是判断的关键．