Question

设函数f（x）=ax-2-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在点（e，f（e））处的切线为x-ey-2e=0，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当x＞0时，求证：f（x）-ax+e^x＞0．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数f（x）的导数并求出切点，运用点斜式方程写出切线方程并化为一般式，对照条件求出a；
（Ⅱ）求出导数f'（x），对a讨论，分a≤0，a＞0，分别求出单调区间，注意定义域：（0，+∞）；
（Ⅲ）运用分析法证明：f（x）-ax+e^x＞0．首先化简左边并构造函数：g（x）=e^x-lnx-2（x＞0），只需要证明g（x）＞0，通过导数g'（x）的单调性，运用零点存在定理证明g'（x）在（0，+∞）上有唯一零点，设为t，由导函数g'（x）的单调性，得到g'（x）在（0，t）上小于0，在（t，+∞）上大于0，从而得到g（x）在x＞0上的单调性，从而得出g（x）的极小值也是最小值g（t），证明g（t）不小于0，由

1

3

＜t＜1得g（t）＞0，从而原不等式成立．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax-2-lnx（x＞0），
∴f'（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

，
又f（x）在点（e，f（e））处的切线为x-ey-2e=0，
∴f'（e）=a-

1

e

=

1

e

，故a=

2

e

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f'（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

（x＞0），
当a≤0时，f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上是单调减函数，
当a＞0时，令f'（x）=0，则x=

1

a

，
令f'（x）＜0，则0＜x＜

1

a

，f'（x）＞0，则x＞

1

a

，
∴f（x）在（0，

1

a

）上单调递减，在（

1

a

，+∞）上单调递增，
综上可得：当a≤0时，f（x）的单调减区间为（0，+∞），
当a＞0时，f（x）的单调减区间为（0，

1

a

），f（x）的单调增区间为（

1

a

，+∞）；
（Ⅲ）当x＞0时，要证f（x）-ax+e^x＞0，即证e^x-lnx-2＞0，
令g（x）=e^x-lnx-2（x＞0），只需证g（x）＞0，
∵g'（x）=ex-

1

x

，由指数函数和幂函数的单调性知，g‘（x）在（0，+∞）上递增，
又g'（1）=e-1＞0，g'（

1

3

）=e

1

3

-3＜0，∴g'（1）•g'（

1

3

）＜0，
∴g'（x）在（

1

3

，1）内存在唯一的零点，则g'（x）在（0，+∞）上有唯一零点，
设g'（x）的零点为t，则g'（t）=e^t-

1

t

=0，即e^t=

1

t

（

1

3

＜t＜1），
由g'（x）的单调性知：
当x∈（0，t）时，g'（x）＜g'（t）=0，当x∈（t，+∞）时，g'（x）＞g'（t）=0，
∴g（x）在（0，t）上为减函数，在（t，+∞）上为增函数，
∴当x＞0时，g（x）≥g（t）=e^t-lnt-2=

1

t

-ln

1

et

-2=

1

t

+t-2≥2-2=0，
又

1

3

＜t＜1，等号不成立，∴g（x）＞0，
∴当x＞0时，f（x）-ax+e^x＞0．

点评：本题是导数在函数中的综合运用，考查应用导数求曲线上某一点处的切线方程，求函数的单调区间，求函数的极值和最值，考查构造函数和分类讨论的数学思想方法，运用分析法证明不等式的重要方法，是一道综合题．