Question

4．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，
（Ⅰ）求证：B₁D⊥平面A₁B₁C₁
（Ⅱ）求直线BB₁与平面A₁BC₁所成角正弦值．

Answer 1

分析 （I）连结B₁D₁，通过证明A₁C₁⊥平面DD₁B₁得出A₁C₁⊥B₁D，同理可得B₁D⊥A₁B，故而B₁D⊥平面A₁B₁C₁；
（II）设正方体棱长为1，利用V${\;}_{{B}_{1}-{A}_{1}B{C}_{1}}$=V${\;}_{B-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$得出B₁到平面A₁BC₁的距离为h，从而得出所求线面角的正弦值．

解答 （I）证明：连结B₁D₁，
∵DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，A₁C₁?平面A₁B₁C₁D₁，
∴DD₁⊥A₁C₁，
∵四边形A₁B₁C₁D₁是正方形，
∴A₁C₁⊥B₁D₁，
又DD₁∩B₁D₁=D₁，
∴A₁C₁⊥平面DD₁B₁，
又B₁D?平面DD₁B₁，
∴A₁C₁⊥B₁D，
同理可证：B₁D⊥A₁B，
又A₁C₁?平面A₁BC₁，A₁B?平面A₁BC₁，
∴B₁D⊥平面A₁BC₁．
（II）解：设正方体棱长为1，则△A₁BC₁是边长为$\sqrt{2}$的等边三角形，
设B₁到平面A₁BC₁的距离为h，
则V${\;}_{{B}_{1}-{A}_{1}B{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}B{C}_{1}}•h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×h$=$\frac{\sqrt{3}h}{6}$，
又V${\;}_{{B}_{1}-{A}_{1}B{C}_{1}}$=V${\;}_{B-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{1}{6}$，
∴h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴直线BB₁与平面A₁BC₁所成角正弦值为$\frac{h}{B{B}_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，线面角的计算，属于中档题．