Question

下列说法：
①设α，β都是锐角，则必有sin（α+β）＜sinα+sinβ
②在△ABC中，若sin²A+sin²B＜sin²C，则△ABC为锐角三角形．
③在△ABC中，若A＜B，则cos2A＜cos2B；
则其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,解三角形

分析：由两角和的正弦公式和余弦函数的单调性，可判断①；先应用正弦定理转化为边，再运用余弦定理即可判断三角形的形状，从而判断②；根据边角关系得到a＜b，再由正弦定理得到sinA＜sinB，再通过变形和二倍角公式，即可得到cos2A＞cos2B，从而判断③．

解答： 解：①根据sin（α+β）=sinαcosβ+osαsinβ，由于α，β都是锐角，则cosα，cosβ∈（0，1），故sin（α+β）＜sinα+sinβ，故①正确；
②在△ABC中，若sin²A+sin²B＜sin²C，由正弦定理得，a²+b²＜c²，再由余弦定理得cosC=

a2+b2-c2

2ab

＜0
即C为钝角，△ABC为钝角三角形，故②错；
③在△ABC中，若A＜B，则a＜b，由正弦定理得，sinA＜sinB，即有sin²A＜sin²B，即1-2sin²A＞1-2sin²B，即cos2A＞cos2B，故③错．
故答案为：①

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查正弦、余弦定理和两角和的正弦公式以及二倍角的余弦公式，是一道基础题．