Question

11．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD为正方形，PD=DC=2，E、F、G分别是AB、PB、CD的中点．
（1）求证：EF⊥DC；
（2）求证：GF∥平面PAD；
（3）求点G到平面PAB的距离．

Answer 1

分析 （1）要证：EF⊥CD，先证DC⊥AP，再证EF‖AP即可证明EF⊥CD．
（2）以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，$\overrightarrow{DC}$=（0，2，0）为平面PAD的一个法向量，$\overrightarrow{GF}$=（1，0，1），证明$\overrightarrow{GF}⊥\overrightarrow{DC}$．即可证明GF∥平面PAD；
（3）证明GF⊥平面PAB，即可求点G到平面PAB的距离．

解答 （1）证明：∵PD⊥DC，DC⊥AD，AD∩PD=D，
∴DC⊥平面PAD，
∵AP∈平面ABCD，∴DC⊥AP，
∵E、F分别是PB和AB的中点，EF是三角形PAB的中位线，EF‖AP，
∴EF⊥CD．
（2）证明：如图，以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2），E（2，1，0），F（1，1，1），G（0，1，0），
∵$\overrightarrow{DC}$=（0，2，0）为平面PAD的一个法向量，$\overrightarrow{GF}$=（1，0，1），
∴$\overrightarrow{GF}•\overrightarrow{DC}$=1×0+0×2+1×0=0，
∴$\overrightarrow{GF}⊥\overrightarrow{DC}$．
∵GF?平面PAD，
∴GF∥平面PAD．
（3）解：∵$\overrightarrow{GF}$=（1，0，1），$\overrightarrow{AB}$=（0，2，0），$\overrightarrow{PA}$=（2，0，-2），
∴$\overrightarrow{GF}•\overrightarrow{AB}$=0，$\overrightarrow{GF}•\overrightarrow{PA}$=0，即GF⊥AB，GF⊥PA，
∵AB∩PA=A，
∴GF⊥平面PAB，垂足为F点，
∵|$\overrightarrow{GF}$|=$\sqrt{{1}^{2}+{0}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴点G到平面PAB的距离为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查学生的空间想象能力，以及对线面关系的考查，考查向量方法的运用，属于中档题．