Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

2

2

且与抛物线y²=4x有公共焦点F₂．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m与椭圆交于M、N两点，直线F₂M与F₂N倾斜角互补．证明：直线l过定点，并求该点坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件得

c a = 2 2 c=1

，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）由题意知直线MN存在斜率，其方程为y=kx+m，联立方程

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，得

(2k2+1)x2+4kmx+m2-2=0，

设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），由直线F₂M与F₂N的倾斜角互补，得2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂）-2m=0，由此利用韦达定理推导出直线MN过点（2，0）．

解答： （Ⅰ）解：∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

2

2

，
且与抛物线y²=4x有公共焦点F₂，
∴

c a = 2 2 c=1

，解得a²=2，c²=1，∴b²=2-1=1，
∴椭圆方程为：

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）证明：由题意知直线MN存在斜率，其方程为y=kx+m，
联立方程

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，消去y，得

(2k2+1)x2+4kmx+m2-2=0，△=(4km)2-4(2k2+1)(2m2-2)＞0

∴2k²-m²+1＞0，
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
则x1+x2=-

4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-2

2k2+1

，
由已知直线F₂M与F₂N的倾斜角互补，
得kf2m+kf2N=0，即

kx1+m

x1-1

+

kx2+m

x2-1

=0，
化简，得2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂）-2m=0，
∴2k•

2m2-2

2k2+1

-(m-k)•

4km

2k2+1

-2m=0，
解得m=-2k，代入直线y=kx+m，得直线MN过点（2，0）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意两直线倾斜角互补的性质的合理运用．