Question

【题目】设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（x）+f（-x）=x2，且x∈（0，+∞）时，f′（x）＜x．若f（1-a）-f（a）≥-a，则实数a的取值范围是______．

Answer 1

【答案】[，+∞）

【解析】

根据条件构造函数g（x）=f（x）-x2，判断函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性将不等式进行转化求解即可．

解：∵f（x）+f（-x）=x2，

∴f（-x）-x2=x2-f（x）=-[f（x）-x2]，

设g（x）=f（x）-x2，

则g（x）是奇函数，

且g′（x）=f′（x）-x．

∵x∈（0，+∞）时，f′（x）＜x．

∴当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0．即此时g（x）为减函数，

∵g（x）是奇函数，

∴当x≤0时，g（x）也是减函数，

即g（x）在（-∞，+∞）上是减函数，

则若f（1-a）-f（a）≥-a，

等价为g（1-a）+（1-a）2-g（a）-a2≥-a，

即g（1-a）+-a+a2-g（a）-a2≥-a，

即g（1-a）≥g（a），

即1-a≤a，

得2a≥1，即a≥，

即实数a的取值范围是[，+∞），

故答案为：[，+∞）