Question

5．某商品在近30天内每件的销售价格p（元）与时间t（天）的函数关系是$p=\left\{\begin{array}{l}t+20，0＜t＜25，t∈N\\-t+100，25≤t≤30，t∈N\end{array}\right.$，该商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系是Q=-t+40（0＜t≤30，t∈N）．
（1）求这种商品的日销售金额的解析式；
（2）求日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天的第几天？

Answer 1

分析 （1）在解答时，应充分考虑自变量的范围不同销售的价格表达形式不同，分情况讨论即可获得日销售金额y关于时间t的函数关系式；
（2）根据分段函数不同段上的表达式，分别求最大值最终取较大者分析即可获得问题解答．

解答 解：（1）由题意可知：y=$\left\{\begin{array}{l}{（t+20）（-t+40），（0＜t＜25，t∈{N}_{+}）}\\{（-t+100）（-t+40），（25≤t≤30，t∈{N}_{+}）}\end{array}\right.$．
（2）当0＜t＜25，t∈N₊时，y=（t+20）（-t+40）=-t²+20t+800=-（t-10）²+900．
∴t=10（天）时，y_max=900（元），
当25≤t≤30，t∈N₊时，y=（-t+100）（-t+40）=t²-140t+4000=（t-70）²-900，
而y=（t-70）²-900，在t∈[25，30]时，函数递减．
∴t=25（天）时，y_max=1125（元）．
∵1125＞900，∴y_max=1125（元）．
故所求日销售金额的最大值为1125元，且在最近30天中的第25天日销售额最大．

点评 本题考查的是分段函数应用类问题．在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、二次函数球最值得方法以及问题转化的能力．值得同学们体会反思．