Question

14．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=kn（n+1）-n（k∈R），公差d为2．
（Ⅰ）求k与a_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足${b_1}=\frac{8}{3}，{b_n}-{b_{n-1}}={2^{a_n}}（n≥2）$，求b_n．

Answer 1

分析 （I）利用数列递推公式可得a₁=S₁=2k-1，a₂=S₂-S₁=4k-1，可得a₂-a₁=2k=2，解得k．即可得出．
（II）由题意${b_1}=\frac{8}{3}，{b_n}-{b_{n-1}}={2^a}={2^{2n-1}}（n≥2）$，利用累加法与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得a₁=S₁=2k-1，a₂=S₂-S₁=4k-1，
∴a₂-a₁=2k=2，即k=1．
故数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，即a_n=2n-1．
（Ⅱ）由题意${b_1}=\frac{8}{3}，{b_n}-{b_{n-1}}={2^a}={2^{2n-1}}（n≥2）$，
由累加法可得n≥2时，b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁=${2^2}+{2^5}+…+{2^{2n-1}}+{b_1}=\frac{{{2^3}（1-{4^{n-1}}）}}{1-4}+\frac{8}{3}=\frac{{{2^{2n+1}}}}{3}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．