Question

已知函数f（x）=

1

x

-alnx．（a∈R）
（1）当a=-1时，试确定函数f（x）在其定义域内的单调性；
（2）求函数f（x）在（0，e）上的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数与函数单调性的关系即可得出；
（2）利用导数研究其单调性，对分类讨论即可得出．

解答： 解：（1）当a=-1时，f（x）=

1

x

+lnx，x∈（0，+∞），
则f′（x）=

x-1

x2

，
∵当0＜x＜1时，f'（x）＜0，当x＞1时，f'（x）＞0．
∴函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
（2）∵f′（x）=-

ax+1

x2

，
①当a≥0时，∵x∈（0，e]，∴ax+1＞0⇒f'（x）＜0，
函数f（x）在（0，e]上单调递减，
∴f（x）min=f（e）=

1

e

-a．
②当a＜0时，令f'（x）=0得x=-

1

a

，
当-

1

a

＜e，即a＜-

1

e

时，对x∈（0，-

1

a

），有f'（x）＜0；即函数f（x）在（0，-

1

a

）上单调递减；
对x∈（-

1

a

，e），有f'（x）＞0，即函数f（x）在（-

1

a

，e）上单调递增；
∴f（x）_min=f（-

1

a

）=-a-aln（-

1

a

）；
当-

1

a

≥e，即a≥-

1

e

时，对x∈（0，e]有f'（x）＜0，即函数f（x）在（0，e]上单调递减；
∴f（x）min=f（e）=

1

e

-a．
综上得f（x）min=

1 e -a    ，          (a≥- 1 e ) -a-aln(-a)，  (a＜- 1 e )

．

点评：本题考查了利用导研究函数的单调性、分类讨论思想，是一道综合题．