Question

（本题满分14分）已知函数（其中是常数）.

（1）若当时,恒有成立,求实数的取值范围；

（2）若存在,使成立,求实数的取值范围；

Answer 1

（1）（2）

【解析】

试题分析：第一步是恒成立问题，应用换元法把问题转化成恒成立问题，再借助求函数的最值得以解决。第二步要注意“存在”二字，属于存在性问题，

试题解析：（1）法一：,令,当时,.

当时，恒成立. 由于

在上是减函数，在上是增函数，由于

于是,只需在上的最大值是，依题意只需,即,解得.

实数的取值范围是

法二：,令,当时,.

当时，恒成立.即：，设

当时，取得最小值为，所以；

（2）法一：若存在,使,则存在,使.

于是,只需在上的最小值,即,解得

实数的取值范围是

法二：若存在,使,则存在,使. 即：存在，

使得成立，由于时，取得最大值是，所以，实数的取值范围是

考点：1.恒成立问题的解题方法；2.存在性问题的解题方法；3.函数的最大值与最小值的求法；4.二此函数的图象与性质。