Question

已知函数f（x）=x²-2x+2，x∈[t，t+1]的最小值为g（t）
（1）求函数g（t）的解析式．
（2）若对任意的t，f（x）-m＞0在x∈[t，t+1]上恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由于函数f（x）=x²-2x+2的图象的对称轴方程为x=1，且x∈[t，t+1]，分类讨论求出f（x）的最小值．
（2）由题意可得，函数f（x）的图象恒在直线y=m的上方，根据二次函数的性质可得函数f（x）的最小值
f（1）的值，可得m的范围．

解答： 解：（1）由于函数f（x）=x²-2x+2的图象的对称轴方程为x=1，x∈[t，t+1]，
当t＞1 时，函数f（x）=x²-2x+2在区间[t，t+1]上单调第增，f（x）的最小值为g（t）=f（t）=t²-2t+2．
当1∈[t，t+1]时，即0≤t≤1时，函数f（x）在区间[t，1]上单调第减，在区间[1，t+1]上单调第增，
f（x）的最小值为g（t）=f（1）=1．
当t+1＜1，即t＜0时，函数f（x）=x²-2x+2在区间[t，t+1]上单调第减，
f（x）的最小值为g（t）=f（t+1）=（t+1）²-2（t+1）+2=t²+1．
综上可得，g（t）=

t2-2t+2，t＞1 1，0≤t≤1 t2+1，t＜0

．
（2）由题意可得，对任意的t，当x∈[t，t+1]时，函数f（x）的图象在直线y=m的上方，
故函数f（x）的图象恒在直线y=m的上方．
根据二次函数的性质可得函数f（x）的最小值为f（1）=1，故有m＜1．

点评：本题主要考查对数函数、二次函数的性质，复合函数的单调性，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．