Question

如图，ABCD是块矩形硬纸板，其中AB=2AD=2

2

，E为DC中点，将它沿AE折成直二面角D-AE-B．
（Ⅰ）求证：BE⊥平面ADE；
（Ⅱ）求锐二面角B-AD-E的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）取AE中点O，连结OD、BE，由已知得OD⊥AE，OD⊥平面ABCE，由此能证明BE⊥平面ADE．
（Ⅱ）取AB中点F，连结OF，则OF∥EB，以O为原点，OA，OF，OD为x、y、z轴建立直角坐标系，利用向量法能求出锐二面角B-AD-E的余弦值．

解答： （本小题满分13分）
（Ⅰ）证明：取AE中点O，连结OD、BE，
∵AD=DE=

2

，∴OD⊥AE，
又∵二面角D-AE-B为直二面角，
∴OD⊥平面ABCE，
∴OD⊥BE，AE=BE=2，AB=2

2

，∴AB²=AE²+BE²，
AE⊥BE，OD∩AE=O，
∴BE⊥平面ADE  …（6分）
（Ⅱ）取AB中点F，连结OF，则OF∥EB，
∴OF⊥平面ADE，
以O为原点，OA，OF，OD为x、y、z轴建立直角坐标系（如图），
则A（1，0，0），D（0，0，1），B（-1，2，0），

AD

=(-1， 0， 1)，

BD

=(1，- 2， 1)，
设

m

=(x， y， z)是平面ABD的一个法向量，
则

m

•

BD

=0，

m

•

AD

=0
∴

x-2y+z=0 -x+z=0

取x=1，则y=1，z=1，则

m

=(1， 1， 1)，
平面ADE的法向量

OF

=(0， 1， 0)
∴cosθ=|

m • OF

| m || OF |

|=|

1

1• 3

|=

3

3

．…（13分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查锐二面角B-AD-E的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空思维能力的培养．