Question

12．设f（x）=x³+bx+c是[-1，1]上的增函数，且f（-$\frac{1}{2}$）f（$\frac{1}{2}$）＜0，则方程f（x）=0在[-1，1]内（　　）

• A． 可能有3个实数根
• B． 可能有2个实数根
• C． 有唯一的实数根
• D． 没有实数根

Answer 1

分析 根据函数f（x）=x³+bx+c是[-1，1]上的增函数，判断b的取值范围，进而得到函数f（x）在R时是单调递增函数，结合f（-$\frac{1}{2}$）f（$\frac{1}{2}$）＜0得结论．

解答 解：由f（x）=x³+bx+c，得f′（x）=3x²+b，
∵f（x）=x³+bx+c是[-1，1]上的增函数，
∴f′（x）=3x²+b≥0对任意x∈[-1，1]恒成立，即b≥-3x²，
∴b≥0．
∴f′（x）=3x²+b≥0．
则f（x）在[-1，1]上为增函数，
又f（-$\frac{1}{2}$）f（$\frac{1}{2}$）＜0，∴f（x）在（$-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$）上有唯一零点，
则方程f（x）=0在[-1，1]内有唯一的实数根．
故选：C．

点评 本题主要考查方程根的个数的判断．利用导数研究函数的单调性，求出b的取值范围是解决本题的关键，是中档题．