Question

2．对于函数：①f（x）=4x+$\frac{1}{x}$-5，②f（x）=|log₂x|-（$\frac{1}{2}$）^x，③$f（x）=lnx-\frac{1}{x}$，判断如下两个命题的真假：命题甲：f（x）在区间（1，2）上是增函数；命题乙：f（x）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x₁，x₂，且x₁x₂＜1；能使命题甲、乙均为真的函数的序号是①②．

Answer 1

分析 借助基本初等函数的单调性判断三个函数的单调性，利用函数图象判断零点个数，根据对数运算规律判断②的零点之积．

解答 ?解：对于①，f′（x）=4-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∴当x∈（1，2）时，f′（x）＞0，
∴f（x）在区间（1，2）上是增函数，即命题甲正确；
令f（x）=0得4x²-5x+1=0，解得x₁=1，x₂=$\frac{1}{4}$，故命题乙正确；
对于②，∵y=|log₂x|在（1，2）上单调递增，y=（$\frac{1}{2}$）^x在（1，2）上单调递减，
∴f（x）=|log₂x|-（$\frac{1}{2}$）^x在（1，2）上单调递增，即命题甲正确；
作出y=|log₂x|与y=（$\frac{1}{2}$）^x的函数图象，如图所示：

由图象可知f（x）在（0，+∞）上有2个零点x₁，x₂，不妨设x₁＜x₂，
则x₁＜1＜x₂，∴-log₂x₁＞log₂x₂，即log₂x₂+log₂x₁＜0，∴x₁x₂＜1．故命题乙正确；
对于③，∵y=lnx在（1，2）上单调递增，y=$\frac{1}{x}$在（1，2）上单调递减，
∴f（x）=lnx-$\frac{1}{x}$在（1，2）上单调递增，即命题甲正确；
作出y=lnx和y=$\frac{1}{x}$的函数图象如图所示：

由图象可知f（x）在（0，+∞）上只有1个零点，故命题乙错误；
故答案为：①②．

点评 本题考查了函数单调性的判断，函数零点判断与函数图象的关系，属于中档题．