Question

3．已知函数y=tan（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$）．
（1）作出此函数在一个周期开区间上的简图；
（2）求出此函数的定义域、周期和单调区间；
（3）写出此函数图象的渐近线方程和所有对称中心的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用五点作图法即可作出此函数在一个周期开区间上的简图；
（2）根据正切函数的性质即可求出此函数的定义域、周期和单调区间；
（3）根据渐近线方程和所有对称中心的性质进行求解即可．

解答 解：（1）作出此函数在一个周期开区间上的简图；

$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$	-$\frac{π}{2}$	-$\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$
x	-$\frac{2π}{3}$	-$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{3}$	π	$\frac{4π}{3}$
y	-∞	-$\sqrt{3}$	0	$\sqrt{3}$	+∞

则对应的图象如图：

（2）由$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$≠kπ+$\frac{π}{2}$，得x≠2kπ+$\frac{4π}{3}$，
即函数的定义域为{x|x≠2kπ+$\frac{4π}{3}$，k∈Z}，
函数的周期T=$\frac{π}{\frac{1}{2}}=2π$．
由kπ-$\frac{π}{2}$＜$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$＜kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得2kπ-$\frac{2π}{3}$＜x＜2kπ+$\frac{4π}{3}$，k∈Z，
即函数的单调递增区间为（2kπ-$\frac{2π}{3}$，2kπ+$\frac{4π}{3}$），k∈Z；
（3）由$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，得x=2kπ+$\frac{4π}{3}$，
即函数图象的渐近线方程为x=2kπ+$\frac{4π}{3}$，k∈Z，
由$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$=$\frac{kπ}{2}$得x=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z
即所有对称中心的坐标为（kπ+$\frac{π}{3}$，0）．

点评 本题主要考查正切函数的图象和性质，要求熟练掌握正切函数的定义域，单调性，周期以及对称性的性质．