Question

1．已知△ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则这个三角形最小值的正弦值是$\frac{3\sqrt{3}}{14}$．

Answer 1

分析 设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d=2，求出a=c+4和b=c+2，由边角关系和条件求出sinA，求出A=60°或120°，再判断A的值，利用余弦定理能求出三边长，由余弦定理和平方关系求出这个三角形最小值的正弦值．

解答 解：不妨设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，
设公差为d=2，三个角分别为、A、B、C，
则a-b=b-c=2，可得b=c+2，a=c+4，
∴A＞B＞C，
∵最大角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由A∈（0°，180°）得，A=60°或120°，
当A=60°时，∵A＞B＞C，∴A+B+C＜180°，不成立；
即A=120°，则cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{（c+2）}^{2}+{c}^{2}-{（c+4）}^{2}}{2c（c+2）}$=$-\frac{1}{2}$，
化简得$\frac{c-6}{2c}=-\frac{1}{2}$，解得c=3，
∴b=c+2=5，a=c+4=7，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{49+25-9}{2×7×5}$=$\frac{13}{14}$，
又C∈（0°，180°），则sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{3\sqrt{3}}{14}$，
∴这个三角形最小值的正弦值是$\frac{3\sqrt{3}}{14}$，
故答案为：$\frac{3\sqrt{3}}{14}$．

点评 本题考查等差中项的性质，余弦定理，以及三角形边角关系的应用，考查了方程与转化思想，运算求解能力，推理论证能力．