Question

设f（x）=e^x-ax-a．
（Ⅰ）若a=1，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≥0对一切x≥-1恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）将a=1代入f（x）=e^x-ax-a得：f（x）=e^x-x-1求f（x）的导数，由f'（x）＞0；f'（x）＜0便可得f（x）的单调区间；
（Ⅱ）由f（x）≥0，得a≤

ex

x+1

，（x＞-1），令h（x）=

ex

x+1

，则h′（x）=

xex

(x+1)2

，得h（x）在（-1，0）递减，在（0，+∞）递增，进而h（x）≥h（0）=1，（x＞-1），从而求出a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=e^x-x-1，
∴f′（x）=e^x-1，
令f′（x）＞0，解得：x＞0，
令f′（x）＜0，解得：x＜0，
∴f（x）在（-∞，0）递减，在（0，+∞）递增；
（Ⅱ）由f（x）≥0，
得a≤

ex

x+1

，（x＞-1），
令h（x）=

ex

x+1

，则h′（x）=

xex

(x+1)2

，
令h′（x）＞0，解得：x＞0，
令h′（x）＜0，解得：-1＜x＜0，
∴h（x）在（-1，0）递减，在（0，+∞）递增，
∴h（x）≥h（0）=1，（x＞-1），
∴a≤1，
又x=-1时，（x+1）a≤e^x即为0•a≤e^-1，
此时a取任意值都成立，
综上得：a≤1．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，不等关系，求参数的范围，是一道综合题．