Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为1，P、Q分别是线段AD₁和BD上的点，且D₁P：PA=DQ：QB=5：12，
（1）求线段PQ的长度；
（2）求证PQ⊥AD；
（3）求证：PQ∥平面CDD₁C₁．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱的结构特征,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）在AD上取点E，使得DE：EA=5：12，可得PE=

12

17

，ED=

5

17

，利用勾股定理，求出线段PQ的长度；
（2）证明AD⊥平面PEQ，可得PQ⊥AD；
（3）证明平面PEQ∥平面CDD₁C₁，可得PQ∥平面CDD₁C₁．

解答： （1）解：在AD上取点E，使得DE：EA=5：12，
∵D₁P：PA=DQ：QB=5：12，
∴PE∥DD₁，EQ∥AB，
∴PE⊥AD，EQ⊥AD
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为1，
∴PE=

12

17

，EQ=

5

17

，
∴PQ=

( 12 17 )2+( 5 17 )2

=

13

17

；
（1）证明：∵PE⊥AD，EQ⊥AD，PE∩EQ=E，
∴AD⊥平面PEQ，
∵PQ?平面PEQ，
∴PQ⊥AD；
（3）证明：∵PE∥DD₁，PE?平面CDD₁C₁，DD₁?平面CDD₁C₁，
∴PE∥平面CDD₁C₁，
同理EQ∥平面CDD₁C₁，
∵PE∩EQ=E，
∴平面PEQ∥平面CDD₁C₁，
∵PQ?平面PEQ，
∴PQ∥平面CDD₁C₁．

点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查空间中直线与直线之间的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．