Question

设f（x）为定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y=x；当x＞2时，y=f（x）的图象是顶点为P（3，4）且过点A（2，2）的抛物线的一部分．
（1）求函数f（x）在（-∞，-2）上的解析式；
（2）在图中的直角坐标系中画出函数f（x）的图象；
（3）写出函数f（x）的值域和单调区间．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当x＞2时，y=f（x）的图象是顶点为P（3，4），用点斜式可求得其解析式；然后根据f（x）是偶函数，求出f（x）在（-∞，-2）上的解析式即可；
（2）首先根据一次函数及二次函数的图象画出函数f（x）右侧的图象，再根据偶函数图象的对称性，画出函数f（x）的整个图象即可；
（3）由（2）中函数图象可知，函数的最大最大值为4，进而求出函数的值域和单调区间即可．

解答： 解：（1）当x＞2时，设f（x）=a（x-3）²+4．
∵f（x）的图象过点A（2，2），
∴f（2）=a（2-3）²+4=2，∴a=-2，
∴f（x）=-2（x-3）²+4；
设x∈（-∞，-2），则-x＞2，
∴f（-x）=-2（-x-3）²+4．
又因为f（x）在R上为偶函数，∴f（-x）=f（x），
∴f（x）=-2（-x-3）²+4，
即f（x）=-2（x+3）²+4，x∈（-∞，-2）．
（2）图象如下图所示：

（3）由图象观察知f（x）的值域为{y|y≤4}，
单调增区间为（-∞，-3]和[0，3]，
单调减区间为[-3，0]和[3，+∞）．

点评：本题主要考查了函数奇偶性质的运用，考查了分段函数及其函数的图象，属于中档题．