Question

给出下列命题：
①设p、q为简单命题，则“p且q”为假是“p或q为假的必要而不充分条件；
②函数x∈（0，4）的极小值为a，极大值为{1，2，3，…，10}；
③奇函数f（x）在[-1，0]单调减函数，又α，β为锐角三角形的内角，则f（sinα）＜f（cosβ）；
④数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=aⁿ-1（a∈R），则{a_n}为等差或等比数列；
⑤若a，b，c，d成等比数列，则a+b，b+c，c+d也成等比数列；
其中真命题的序号为

 

（写出所有真命题的序号）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：创新题型

分析：本题考查的知识点是：充分必要条件的定义，函数的极值的相关知识；函数的单调性的应用；等差等比数列的定义及其应用．

解答： 解：①∵p且q为假，可以推出p、q至少有一个为假，
但只有p、q都为假的时候，才能推出“p或q为假”
∴“p且q为假”≠＞“p或q为假”
∵p或q为假，可以推出p、q都为假，则“p且q为假”
“p或q为假”=＞“p且q为假”
∴是必要不充分条件，故①正确．
②∵函数x∈（0，4）的极小值为a，
∴极大值最多1个；
∵极大值为{1，2，3，…，10}；
 故②不正确．
③由于是锐角三角形所以α+β＞

π

2

β＞

π

2

-α
由单调递减可知：cosβ＜cos（

π

2

-α）
∴0＜cosβ＜sinα＜1
∵f（x）在[-1，0]单调递减，且为奇函数
∴f（x）在[0，1]上也单调递减
即f（sinα）＜f（cosβ）故③正确．
④n=1时，a1=S1=a-1
n≥2时，an=Sn-S（n-1）=aⁿ-1-a^n-1+1
=a^n-1（a-1）
当a=1时，数列各项全为0，所以该数列为等差数列；
当a≠1时，这个数列不是等差数列，也不是等比数列；
综上所述④不正确
⑤∵实数a，b，c，d成等比数列
∴ac=b²，bd=c² ad=bc
（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd=b²+bc+bc+c²=（b+c）²
∵当a+b，b+c，c+d均不为0
∴a+b，b+c，c+d成等比数列
∵题干中没有说明a+b，b+c，c+d均不为0，
故⑤不正确．
综上所述答案为：①③．

点评：我们可以根据相关知识对五个结论逐一进行判断，可以得到正确的结论．