Question

．圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦。若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦。已知点、是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，是垂直于轴的一条垂轴弦，直线分别交轴于点和点。

（1）试用的代数式分别表示和；
（2）若C的方程为（如图），求证：是与和点位置无关的定值；
（3）请选定一条除椭圆外的圆锥曲线C，试探究和经过某种四则运算（加、减、乘、除），其结果是否是与和点位置无关的定值，写出你的研究结论并证明。
（说明：对于第3题，将根据研究结论所体现的思维层次，给予两种不同层次的评分）

Answer 1

解．（1）因为是垂直于轴的一条垂轴弦，所以
则 ……………. 2分
令则……………. 4分
同理可得：，……………. 6分
（2）由（1）可知：……………. 8分
在椭圆C：上，，
则（定值）
是与和点位置无关的定值         …………. 12分
（3）第一层次：
①点是圆C：上不与坐标轴重合的任意一点，是垂直于轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，则。……………. 16分
证明如下：由（1）知： 
在圆C：上，，
则
是与和点位置无关的定值
②点是双曲线C：上不与顶点重合的任意一点，是垂直于轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，
则。……………. 16分
证明如下：由（1）知： 
在双曲线C：上，，
则
是与和点位置无关的定值
第二层次：
点是抛物线C：上不与顶点重合的任意一点，是垂直于轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，则。…………. 18分      
证明如下：由（1）知：，
在抛物线C：上，
则
是与和点位置无关的定值

略