Question

已知函数（其中且），是的反函数.

（1）已知关于的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围；

（2）当时，讨论函数的奇偶性和增减性；

（3）设，其中.记，数列的前项的和为（），

求证：.

Answer 1

（1）转化为求函数在上的值域，

 该函数在上递增、在上递减，所以的最小值5，最大值9。所以的取值范围为

。

（2）的定义域为，

 定义域关于原点对称，又， ，所以函数为奇函数。

下面讨论在上函数的增减性.

任取、，设，令，则，，所以

因为，，，所以

.

又当时，是减函数，所以.由定义知在上函数是减函数.

又因为函数是奇函数，所以在上函数也是减函数.

（3）

因为，，所以，

 设，时，则 ，

且，

 由二项式定理，

所以，

从而。