Question

7．如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，∠CBD=60°，BD=2BC=4，点E在CD上，DE=2EC．
（Ⅰ）求证：AC⊥BE；
（Ⅱ）若二面角E-BA-D的余弦值为$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$，求三棱锥A-BCD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BD的中点O，连结AO，CO，EO．推导出AO⊥BD，从而AO⊥平面BCD，进而AO⊥BE．再求出BE⊥CO，从而BE⊥平面ACO，由此能证明AC⊥BE．
（Ⅱ）法一：分别以向量$\overrightarrow{OE}，\overrightarrow{OD}，\overrightarrow{OA}$的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出三棱锥A-BCD的体积．
（Ⅱ）法二：过点O作OF⊥AB于点F，连结EF．推导出∠EFO为二面角E-BA-D的平面角，AO是三棱锥A-BCD的高，由此能求出三棱锥A-BCD的体积．

解答 （本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）取BD的中点O，连结AO，CO，EO．
因为AB=AD，BO=OD，所以AO⊥BD，（1分）
又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO?平面ABD，
所以AO⊥平面BCD，（2分）
又BE?平面BCD，所以AO⊥BE．
在△BCD中，BD=2BC，DE=2EC，所以$\frac{BD}{BC}=\frac{DE}{EC}=2$，
由角平分线定理，得∠CBE=∠DBE，（3分）
又BC=BO=2，所以BE⊥CO，（4分）
又因为AO∩CO=O，AO?平面ACO，CO?平面ACO，
所以BE⊥平面ACO，（5分）
又AC?平面ACO，所以AC⊥BE．（6分）
解：（Ⅱ）法一：在△BCD中，BD=2BC=4，∠CBD=60°，
由余弦定理得$CD=2\sqrt{3}$，所以BC²+CD²=BD²，即∠BCD=90°，
所以∠EBD=∠EDB=30°，BE=DE，所以EO⊥BD，（7分）
结合（Ⅰ）知，OE，OD，OA两两垂直．以O为原点，
分别以向量$\overrightarrow{OE}，\overrightarrow{OD}，\overrightarrow{OA}$的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O-xyz（如图），
设AO=t（t＞0），
则A（0，0，t），B（0，-2，0），$E（\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，0，0）$，
所以$\overrightarrow{BA}=（{0，2，t}）$，$\overrightarrow{BE}=（\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，2，0）$，（8分）
设n=（x，y，z）是平面ABE的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}n•\overrightarrow{BA}=0\\ n•\overrightarrow{BE}=0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}2y+tz=0\\ \frac{{2\sqrt{3}}}{3}x+2y=0\end{array}\right.$，整理，得$\left\{\begin{array}{l}x=-\sqrt{3}y\\ z=-\frac{2}{t}y\end{array}\right.$
令y=-1，得$n=（\sqrt{3}，-1，\frac{2}{t}）$．（9分）
因为OE⊥平面ACD，所以m=（1，0，0）是平面ABD的一个法向量．（10分）
又因为二面角E-BA-D的余弦值为$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$，
所以$|{cos＜m，n＞}|=\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{3+1+\frac{4}{t^2}}}}=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$，解得t=2或t=-2（舍去），（11分）
又AO⊥平面BCD，所以AO是三棱锥A-BCD的高，
故三棱锥A-BCD的体积${V_{A-BCD}}=\frac{1}{3}•AO•{S_{△BCD}}=\frac{1}{3}×2×\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．（12分）
（Ⅱ）法二：过点O作OF⊥AB于点F，连结EF．
在△BCD中，BD=2BC=4，∠CBD=60°，由余弦定理可得$CD=2\sqrt{3}$．
因为BC²+CD²=BD²，所以∠BCD=90°，
故∠EBD=∠EDB=30°，BE=DE，所以EO⊥BD，（7分）
又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，EO?平面BCD，
所以EO⊥平面ABD，又AB?平面ABD，所以EO⊥AB，（8分）
又因为EO∩OF=O，所以AB⊥平面EOF，又EF?平面EOF，
所以AB⊥EF，所以∠EFO为二面角E-BA-D的平面角，（9分）
所以$cos∠EFO=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$，所以$tan∠EFO=\frac{EO}{FO}=\frac{{\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}}{FO}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，解得$FO=\sqrt{2}$，（10分）
设AO=t（t＞0），则$2t=\sqrt{2}•\sqrt{{2^2}+{t^2}}$，解得t=2或-2（不合，舍去），（11分）
又AO⊥平面BCD，所以AO是三棱锥A-BCD的高，
所以三棱锥A-BCD的体积${V_{A-BCD}}=\frac{1}{3}•AO•{S_{△BCD}}=\frac{1}{3}×2×\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．（12分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想是，是中档题．