Question

2．-2C${\;}_{n}^{1}$+3C${\;}_{n}^{2}$-4C${\;}_{n}^{3}$+…+（-1）ⁿ（n+1）C${\;}_{n}^{n}$=-2，或-1．

Answer 1

分析 根据 x•（1-x）ⁿ=x（${C}_{n}^{0}$-${C}_{n}^{1}$•x+${C}_{n}^{2}$•x²+…+（-1）ⁿ•${C}_{n}^{n}$•xⁿ），两边对x求导，再把x=1代入上式，可得要求式子的值．

解答 解：当n=1时，要求-2C${\;}_{n}^{1}$+3C${\;}_{n}^{2}$-4C${\;}_{n}^{3}$+…+（-1）ⁿ（n+1）C${\;}_{n}^{n}$=-2．
当n＞1时，要求-2C${\;}_{n}^{1}$+3C${\;}_{n}^{2}$-4C${\;}_{n}^{3}$+…+（-1）ⁿ（n+1）C${\;}_{n}^{n}$，
只要求出1-2C${\;}_{n}^{1}$+3C${\;}_{n}^{2}$-4C${\;}_{n}^{3}$+…+（-1）ⁿ（n+1）C${\;}_{n}^{n}$即可．
∵x•（1-x）ⁿ=x（${C}_{n}^{0}$-${C}_{n}^{1}$•x+${C}_{n}^{2}$•x²+…+（-1）ⁿ•${C}_{n}^{n}$•xⁿ），两边对x求导，可得
（1-x）ⁿ-x•n（1-x）^n-1=1-2C${\;}_{n}^{1}$•x+3C${\;}_{n}^{2}$•x²-4C${\;}_{n}^{3}$•x³+…+（-1）ⁿ（n+1）C${\;}_{n}^{n}$•xⁿ，
再把x=1代入上式，可得0=1-2C${\;}_{n}^{1}$+3C${\;}_{n}^{2}$-4C${\;}_{n}^{3}$+…+（-1）ⁿ（n+1）C${\;}_{n}^{n}$，
∴2C${\;}_{n}^{1}$+3C${\;}_{n}^{2}$-4C${\;}_{n}^{3}$+…+（-1）ⁿ（n+1）C${\;}_{n}^{n}$=-1，
故答案为：-2，或-1．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．