Question

已知a，b，c∈（0，1）．
（1）求证：a+b＜ab+1；
（2）利用（1）的结论证明：a+b+c＜abc+2；
（3）由（1）（2）写出推广的结论（不必证明）．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,不等式的解法及应用

分析：（1）利用作差法进行证明即可；
（2）由（1）得：a+b+c＜（ab+c）+1＜abc+1+1=abc+2．
（3）猜想：一般地，若a₁，a₂，a₃，…，a_n∈（0，1），则有a₁+a₂+a₃+…+a_n＜a₁a₂a₃…a_n+（n-1）．

解答： 解：（1）∵a，b∈（0，1），∴a-1＜0，1-b＞0，
∴a+b-（ab+1）=a（1-b）-（1-b）-（1-b）=（a-1）（1-b）＜0，
∴a+b＜ab+1．
（2）∵a，b，c∈（0，1），∴ab∈（0，1），c∈（0，1），由（1）得：a+b+c＜（ab+c）+1＜abc+1+1=abc+2．
（3）猜想：一般地，若a₁，a₂，a₃，…，a_n∈（0，1），
则有a₁+a₂+a₃+…+a_n＜a₁a₂a₃…a_n+（n-1）．

点评：本题考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，正确运用作差法是关键．