Question

已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，当x≤0时，f（x）=1+

1

x-1

；
（1）求f（2）的值及y=f（x）的解析式；
（2）用定义法判断y=f（x）在区间（-∞，0]的单调性．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由于f（x）为偶函数，则f（2）=f（-2），代入已知函数式即可得到；运用偶函数的定义，又x＞0时，-x＜0，由已知函数即可得到f（x）的表达式；
（2）运用单调性的定义证明，注意作差、变形、定符号和下结论等．

解答： 解：（1）由于f（x）为偶函数，则f（2）=f（-2）=1+

1

-2-1

=0，
又x＞0时，-x＜0，由函数f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x）=1+

1

-x-1

=1-

1

x+1

，
综上：f（x）=

1+ 1 x-1 ，x≤0 1- 1 x+1 ，x＞0

；
（2）在（-∞，0]上任取x1，

x

2

，且x1＜

x

2

，则f(x1)-f(

x

2

)=(1+

1

x1-1

)-(1+

1

x2-1

)=

1

x1-1

-

1

x2-1

=

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

；
由x₁-1＜0，x₂-1＜0，x₂-x₁＞0，则f(x1)-f(

x

2

)＞0，即f(x1)＞f(

x

2

)．
由定义可知：函数y=f（x）在区间（-∞，0]单调递减．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查运用定义证明函数的单调性的方法，考查运算能力，属于中档题．