Question

14．设A₁，A₂分别为双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左右顶点，若双曲线上存在点M使得两直线斜率${k_{M{A_1}}}{k_{M{A_2}}}＜2$，则双曲线C的离心率的取值范围为（　　）

• A． $（0，\sqrt{3}）$
• B． $（1，\sqrt{3}）$
• C． $（\sqrt{3}，+∞）$
• D． （0，3）

Answer 1

分析 由题意可得A₁（-a，0），A₂（a，0），设M（m，n），代入双曲线的方程，运用直线的斜率公式，化简整理可得b²＜2a²，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求范围．

解答 解：由题意可得A₁（-a，0），A₂（a，0），
设M（m，n），可得$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
即有$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
由题意${k_{M{A_1}}}{k_{M{A_2}}}＜2$，
即为$\frac{n-0}{m+a}$•$\frac{n-0}{m-a}$＜2，
即有$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$＜2，即b²＜2a²，
c²-a²＜2a²，即c²＜3a²，
c＜$\sqrt{3}$a，即有e=$\frac{c}{a}$＜$\sqrt{3}$，
由e＞1，可得1＜e＜$\sqrt{3}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用点满足双曲线方程和直线的斜率公式，考查运算能力，属于中档题．