Question

一般地，如果函数y=f（x）的定义域为[a，b]，值域也是[a，b]，则称函数f（x）为“保域函数”，下列函数中是“保域函数”的有

 

．（填上所有正确答案的序号）
①f₁（x）=x²-1，x∈[-1，1]；  
②f₂（x）=

π

2

sinx，x∈[

π

2

，π]；
③f₃（x）=x³-3x，x∈[-2，2]；
④f₄（x）=x-lnx，x∈[1，e²]；
⑤f₅（x）=

2x

x2-x+1

，x∈[0，2]．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：函数的性质及应用

分析：求出题目中所给5个函数的值域，根据已知中“保域函数”的定义逐一进行判断，即可得到答案．

解答： 解：对于①，f₁（x）=x²-1，x∈[-1，1]的值域为[-1，0]，不符合，故①舍去；
对于②，f₂（x）=

π

2

sinx，x∈[

π

2

，π]的值域为[0，

π

2

]，故②正确；
对于③，f′3(x)=3x2-3，于是f₃（x）在（-2，-1）上单调递增，在（-1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，其值域为[-2，2]，故③正确；
对于④，f′4(x)=1-

1

x

=

x-1

x

≥0，f4(x)=x-lnx，x∈[1，e2]单调递增，其值域为[1，e²-2]，不符合题意，故④舍去；
对于⑤，f₅（0）=0，当x＞0时，0＜f5(x)=

2

x+ 1 x -1

≤2（当且仅当x=1时，等号成立），其值域为[0，2]，故⑤正确．
故答案为：②③⑤．

点评：本题考查的知识点是函数的值域，其中熟练掌握求函数值域的方法，并正确理解保域函数”的定义是解答的关键．