Question

如图所示,已知圆外有一点,作圆的切线,为切点,过的中点,作割线,交圆于、两点,连接并延长,交圆于点,连接交圆于点,若.

（1）求证:△∽△;

（2）求证:四边形是平行四边形.

Answer 1

【解析】（1）见解析；（2）见解析

解析：(1)∵是圆的切线, 是圆的割线, 是的中点,

∴, ∴,

又∵, ∴△∽△,

∴, 即.

∵, ∴, ∴,

∴△∽△.                                 ………5分

 (2)∵,∴,即,

∴,  ∵△∽△,∴,

∵是圆的切线,∴,

∴,即,

∴, ∴四边形PMCD是平行四边形.             ………10分

【思路点拨】（I）由切割线定理，及N是PM的中点，可得，进而，结合，可得△∽△，则，即；再由MC=BC，可得∠MAC=∠BAC，再由等角的补角相等可得∠MAP=∠PAB，进而得到△APM∽△ABP（II）由∠ACD=∠PBN，可得∠PCD=∠CPM，即PM∥CD；由△APM∽△ABP，PM是圆O的切线，可证得∠MCP=∠DPC，即MC∥PD；再由平行四边形的判定定理得到四边形PMCD是平行四边形．