Question

已知a_n=n+2，设b_n=

2an+1

an(an+1)(an+2)

，S_n为数列{b_n}的前n项和，求证：

7

60

≤S_n≤

13

24

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：b_n=

2an+1

an(an+1)(an+2)

=

1

(n+2)(n+4)

+

1

(n+3)(n+4)

=

1

2

（

1

n+2

-

1

n+4

）+（

1

n+3

-

1

n+4

），求和，即可证明结论．

解答： 证明：a_n=n+2，b_n=

2an+1

an(an+1)(an+2)

=

1

(n+2)(n+4)

+

1

(n+3)(n+4)

=

1

2

（

1

n+2

-

1

n+4

）+（

1

n+3

-

1

n+4

）
∴S_n=

1

2

（

1

3

-

1

5

+

1

4

-

1

6

+…+

1

n+2

-

1

n+4

）+（

1

4

-

1

5

+

1

5

-

1

6

+…+

1

n+3

-

1

n+4

）
=

1

2

（

1

3

+

1

4

-

1

n+3

-

1

n+4

）+（

1

4

-

1

n+4

）=

13

24

-

1

n+3

-

2

n+4

，
∴n=1时，S_n=

7

60

，
∴

7

60

≤S_n≤

13

24

．

点评：本题考查数列的求和，考查数列与不等式的综合，正确求和是关键．