Question

10．已知抛物线C：y=ax²（a＞0）的焦点为F，点P（4，$\frac{7}{2}$），且抛物线C恰好经过线段PF的中点．
（I）求a的值；
（Ⅱ）过点P的直线l交抛物线C于A，B两点，设直线FA，FP，FB的斜率分别为k₁，k₂，k₃，则是否有等式k₁+k₃=$\frac{8}{9}$k₂成立？若能成立，求出直线l的方程；若不能成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）求得抛物线的焦点F，利用中点坐标公式，求得中点坐标，代入抛物线方程，即可求得a的值；
（Ⅱ）设出l方程与抛物线方程联立，利用韦达定理，及k₁+k₃=$\frac{8}{9}$k₂，可得方程，即可求得k的值，即可求得直线l的方程．

解答 解：（I）抛物线C：x²=$\frac{1}{a}$y，焦点F（0，$\frac{1}{4a}$），P（4，$\frac{7}{2}$），
则PF的中点E（2，$\frac{7}{4}$+$\frac{1}{8a}$），则4a=$\frac{7}{4}$+$\frac{1}{8a}$，整理得：32a²-14a-1=0，
解得：a=$\frac{1}{2}$，a=-$\frac{1}{16}$，由a＞0，则a=$\frac{1}{2}$，
∴a的值$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）抛物线的焦点F（0，$\frac{1}{2}$）
设直线AB的方程：y-$\frac{7}{2}$=k（x-4），（k≠0）A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{y-\frac{7}{2}=k（x-4）}\\{{x}^{2}=2y}\end{array}\right.$，整理得：x²-2kx+8k-7=0，△=4k²-4（8k-7）=k²-8k+7＞0，
解得：k＜1或k＞7，①
x₁+x₂=2k，x₁x₂=8k-7，
则k₁=$\frac{{y}_{1}-\frac{1}{2}}{{x}_{1}}$=$\frac{k（{x}_{1}-4）+\frac{7}{2}-\frac{1}{2}}{{x}_{1}}$=$\frac{k（{x}_{1}-4）+3}{{x}_{1}}$，k₃=$\frac{{y}_{2}-\frac{1}{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{k（{x}_{2}-4）+3}{{x}_{2}}$，k₂=$\frac{\frac{7}{2}-\frac{1}{2}}{4-0}$=$\frac{3}{4}$，
∴k₁+k₃=$\frac{k（{x}_{1}-4）+3}{{x}_{1}}$+$\frac{k（{x}_{2}-4）+3}{{x}_{2}}$=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}+（3-4k）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{8{k}^{2}-8k}{8k-7}$，
由k₁+k₃=$\frac{8}{9}$k₂=$\frac{2}{3}$，则$\frac{8{k}^{2}-8k}{8k-7}$=$\frac{2}{3}$，整理得：12k²-20k+7=0，
解得：k=$\frac{1}{2}$，或k=$\frac{7}{6}$，
由①可知：k=$\frac{1}{2}$，整理得：2y-x-3=0，
∴直线l的方程2y-x-3=0．

点评 本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．