Question

是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

 

Answer 1

a的取值范围为a>1或a<－

【解析】【解析】
令f(x)＝0，则Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＝9a2－16a＋8＝9(a－)2＋>0，即f(x)＝0有两个不相等的实数根，

∴若实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可．

f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0，

∴a≤－或a≥1．

检验：(1)当f(－1)＝0时，a＝1，所以f(x)＝x2＋x．

令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1．

方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a≠1．

当f(3)＝0时，a＝－，

此时f(x)＝x2－x－．

令f(x)＝0，即x2－x－＝0，

解得x＝－或x＝3．

方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a≠－．

所以a的取值范围为a>1或a<－．