Question

已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋ (x>0)．

(1)若g(x)＝m有实数根，求m的取值范围；

(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．

 

Answer 1

（1）m≥2e

（2）(－e2＋2e＋1，＋∞)

【解析】【解析】
(1)∵g(x)＝x＋≥2＝2e等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因此，只需m≥2e，g(x)＝m就有实数根．

(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)与f(x)的大致图象．

∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，

∴其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2．

故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，

即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．

∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．