Question

9．已知数列{b_n}满足b_n=|$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}-1}$|，其中a₁=2，a_n+1=$\frac{2}{{a}_{n}+1}$
（1）求b₁，b₂，b₃，并猜想b_n的表达式（不必写出证明过程）；
（2）设c_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{b}_{n}•lo{g}_{2}{b}_{n+1}}$，数列|c_n|的前项和为S_n，求证S_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由a₁=2，a_n+1=$\frac{2}{{a}_{n}+1}$可得：a₂=$\frac{2}{3}$，a₃=$\frac{6}{5}$．又b_n=|$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}-1}$|，可得b₁，b₂，b₃．猜想b_n=2ⁿ⁺¹．
（2）c_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{b}_{n}•lo{g}_{2}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，即可得出数列|c_n|的前项和为S_n．

解答 解：（1）由a₁=2，a_n+1=$\frac{2}{{a}_{n}+1}$可得：a₂=$\frac{2}{3}$，a₃=$\frac{6}{5}$．又b_n=|$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}-1}$|，
则b₁=4，b₂=8，b₃=16．
猜想b_n=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹．
（2）证明：c_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{b}_{n}•lo{g}_{2}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
∴数列|c_n|的前项和为S_n=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$．
∴S_n＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．