Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，D是棱CC₁的中点，A₁D⊥AB₁；
（Ⅰ）求AA₁的长；
（Ⅱ）求二面角A₁-AB₁=C₁的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）建立坐标系运用A₁D•AB₁=0，运用坐标求解即可．
（Ⅱ）求解平面的法向量，运用A₁D•AB₁=0，得出

n

，再运用数量积求解cos＜

n

，

A1D

＞即可得出二面角的平面角的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）以C为原点建立如图所示的坐标系，设AA₁=a，则A₁=（0，A，

3

），D（0，

a

2

，0），
A（0，0，

3

），B₁=（1，a，0），

AB1

=（1，a．-

3

），

A1D

=（0，-

a

2

，-

3

），
∵，A₁D⊥AB₁
∴A₁D•AB₁=0，
即-

a2

2

+3=0，解得：a=

6

，
∴AA₁的长为

6

．

（Ⅱ）设平面AA₁B₁的法向量为

n

=（x，y，z），
A₁D•AB₁=0，
∴

6 y=0 x+ 6 y- 3 z=0

令z=1，y=0，x=

3

，
∴

n

=（

3

，0，1）
∵AD₁⊥AB₁，AD₁⊥B₁C₁，
∴A₁D⊥平面AB₁C₁，
平面AB₁C₁的法向量为

A1D

=（0，-

6

2

，-

3

），
cos＜

n

，

A1D

＞=

- 3

2• 6 4 +3

=-

6

6

，
二面角A₁-AB₁=C₁的余弦值为

6

6

．

点评：本题考查了空间向量在求夹角，距离终点运用属于中档题，关键是求解法向量，数量积，计算准确．