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已知函数f(x)=a•lnx+b•x2在点(1,f(1))处的切线方程为x-y-1=0.
(1)求f(x)的表达式;
(2)若f(x)满足f(x)≥g(x)恒成立,则称f(x)是g(x)的一个“上界函数”,如果函数f(x)为g(x)=
t
x
-lnx
(t为实数)的一个“上界函数”,求t的取值范围;
(3)当m>0时,讨论F(x)=f(x)+
x2
2
-
m2+1
m
x
在区间(0,2)上极值点的个数.
分析:(1)把x=1代入切线方程得到y=0,得到切点坐标,把切点坐标代入f(x)中,解得b的值,求出f(x)的导函数,把b的值代入后,再根据′(1)=1,求出a的值,把a与b的值代入即可确定出f(x);
(2)把(1)求出的f(x)和g(x)的解析式代入题中的不等式中,不等式要恒成立,即要当x大于0时,t小于等于一个关系式,设这个关系式为一个函数h(x),求出h(x)的导函数,令导函数等于0求出x的值,利用x的值分区间讨论导函数的正负,得到函数h(x)的单调区间,根据函数的增减性得到h(x)的最小值,进而得到t的取值范围;
(3)把(1)中求出的f(x)代入确定出F(x)的解析式,求出F(x)的导函数,令导函数等于0,得到x+
1
x
等于一个关系式,设y=x+
1
x
,且x大于0小于2,画出该函数的图象,如图所示,然后分m=1,m大于
1
2
小于2,m大于0小于等于
1
2
和m大于等于2,四种情况,根据函数的图象,即可得到相应区间上极值点的个数.
解答:解:(1)当x=1时,y=0,代入f(x)=a•lnx+b•x2,可得:b=0,
所以f′(x)=
a
x
,由切线方程知f′(1)=1,所以a=1,
因此a=1,b=0,所以f(x)=lnx;
(2)把f(x)和g(x)的解析式代入得:
t
x
-lnx≤lnx恒成立,
因为x>0,所以只需要t≤2xlnx在(0,+∞)恒成立即可,
令h(x)=2xlnx,则h′(x)=2(1+lnx),
当x∈(0,
1
e
)时,h′(x)<0,所以h(x)在(0,
1
e
)上是减函数,
当x∈(
1
e
,+∞)时,h′(x)>0,所以h(x)在(
1
e
,+∞)上是增函数,
所以h(x)min=h(
1
e
)=-
2
e
,所以t≤-
2
e

(3)由已知得F(x)=lnx+
x2
2
-
m2+1
m
x,所以F′(x)=
1
x
+x-
m2+1
m

令F′(x)=0,得到
1
x
+x=
m2+1
m
,令y=x+
1
x
,x∈(0,2),
画出该函数的图象,如图所示:
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①当
m2+1
m
=2,即m=1时,F′(x)=0在区间(0,2)上只有一个根1,且在1的两侧,
x+
1
x
>2,即在1的两侧F′(x)同正,此时F(x)在(0,2)上无极值点;
②当2<
m2+1
m
5
2
,即
1
2
<m<2,且m≠1时,F′(x)=0在区间(0,2)上有两个不等根,
不妨设为x1,x2,且x1<x2,从图象上看在x1和x2两侧F′(x)=x+
1
x
-
m2+1
m
都是异号的,
因此x1和x2都是F(x)的极值点,此时F(x)在(0,2)上有两个极值点;
③当
0<m<2
1
m
≥2
,即0<m≤
1
2
时,方程在区间(0,2)上只有一个根m,
由该方程所对应的二次函数图象可知,F′(x)在m两侧的符号不同,
因此函数F(x)在区间(0,2)上只有一个极值点;
④当
0<
1
m
< 2
m≥2
,即m≥2时,方程在区间(0,2)上只有一个根
1
m

由该方程所对应的二次函数图象可知,F′(x)在
1
m
两侧的符号不同,
因而函数F(x)在区间(0,2)上只有一个极值点,
综上,当m=1时,函数F(x)在区间(0,2)上无极值点;
当m∈(0,
1
2
)∪[2,+∞)时,函数F(x)在区间(0,2)上有一个极值点;
当m∈(
1
2
,1)∪(1,2)时,函数F(x)在区间(0,2)上有两个极值点.
点评:此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,会利用导数研究函数的极值,掌握导数在最大值、最小值问题中的应用,考查了分类讨论和数形结合的数学思想,是一道中档题.
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a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

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1
4
)
时,求f(x)的最大值;
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(-∞,-2)
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