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(13分)(理科)已知双曲线与椭圆有公共焦点,且以抛物线的准线为双曲线的一条准线.动直线过双曲线的右焦点且与双曲线的右支交于两点.
(1)求双曲线的方程;
(2)无论直线绕点怎样转动,在双曲线上是否总存在定点,使恒成立?若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.

(1)
(2)双曲线上存在定点,使恒成立
(理科)解:(1)设,则由题意有:
  ∴
故双曲线的方程为,                        ……………4分
(2)解法一:由(1)得点
当直线l的斜率存在时,设直线方程
将方程与双曲线方程联立消去得:
   解得                  ……………6分
假设双曲线上存在定点,使恒成立,设为
则:




,∴
故得:对任意的恒成立,
,解得
∴当点时,恒成立;               ……………10分
当直线l的斜率不存在时,由知点使得也成立.
又因为点是双曲线的左顶点,                    ……………12分
所以双曲线上存在定点,使恒成立. ……………13分
解法二(略解):当直线l的斜率不存在时,由,且点在双曲线上可求得
当直线l的斜率存在时,将代入,经计算发现对任意的恒成立,从而恒有成立.
因而双曲线上存在定点,使恒成立.
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A.B.C.D.

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A.B.C.D.

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A.        B.2             C.     D.不存在

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