Question

已知函数f（x）=e^x-alnx的定义域是D，有下列四个命题：
①对于?a∈（-∞，0），函数f（x）在D上是单调增函数；
②对于?a∈（0，+∞），函数f（x）存在最小值；
③?a∈（-∞，0），使得对于x∈D，都有f（x）＞0成立；
④?a∈（0，+∞），使得函数f（x）有两个零点．
其中是真命题的为

 

．（填所有符合要求的序号）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数零点的判定定理

专题：导数的概念及应用

分析：先求导数，若为减函数则导数恒小于零；在开区间上，若有最小值则有唯一的极小值，若有零点则对应方程有根．

解答： 解：由对数函数知：函数的定义域为：（0，+∞），f′（x）=e^x-

a

x

，
①∵a∈（-∞，0）∴f′（x）=e^x-

a

x

≥0，是增函数．所以①正确，
②∵a∈（0，+∞），∴存在x有f′（x）=e^x-

a

x

=0，可以判断函数有最小值，②正确．
③画出函数y=e^x，y=-alnx的图象，如图：显然不正确．
④令函数y=e^x是增函数，y=alnx是减函数，所以存在a∈（0，+∞），f（x）=e^x-alnx=0有两个根，正确．
故答案为：①②④

点评：本题主要考查导数法研究函数的单调性、极值、最值等问题．