Question

9．已知x，y∈R，满足2≤y≤4-x，x≥1，则$\frac{{{x^2}+{y^2}+2x-2y+2}}{xy-x+y-1}$的最大值为$\frac{10}{3}$．

Answer 1

分析 由已知不等式作出可行域，求得t=$\frac{y-1}{x+1}$的范围，把$\frac{{{x^2}+{y^2}+2x-2y+2}}{xy-x+y-1}$转化为含有t得代数式，再利用“对勾函数”的单调性求得答案．

解答 解：由2≤y≤4-x，x≥1，作出可行域如图，
令t=$\frac{y-1}{x+1}$，其几何意义为可行域内的动点（x，y）与定点P（-1，1）连线的斜率，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4-x}\end{array}\right.$，解得A（1，3），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{y=4-x}\end{array}\right.$，解得B（2，2）．
∵${k}_{PA}=\frac{3-1}{1-（-1）}=1$，${k}_{PB}=\frac{2-1}{2-（-1）}=\frac{1}{3}$．
∴t∈[$\frac{1}{3}$，1]．
$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}+2x-2y+2}{xy-x+y-1}=\frac{（x+1）^{2}+（y-1）^{2}}{（x+1）（y-1）}$
=$\frac{x+1}{y-1}+\frac{y-1}{x+1}$=$\frac{1}{t}+t$．
设f（t）=$\frac{1}{t}+t$，则由“对勾函数”的单调性可知，f（t）=$\frac{1}{t}+t$在[$\frac{1}{3}$，1]上为减函数，
∴当t=$\frac{1}{3}$时，$f（x）_{max}=3+\frac{1}{3}=\frac{10}{3}$．
故答案为：$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查函数的最值及其几何意义，考查简单的线性规划，训练了利用“对勾函数”的单调性求函数的最值，是中档题．