Question

10．若不等式2y²-x²≥c（x²-xy）对任意满足x＞y＞0的实数x，y恒成立，则实数c的最大值为$2\sqrt{2}-4$．

Answer 1

分析 不等式x²-2y²≤cx（y-x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，变形为c≤$\frac{2{y}^{2}-{x}^{2}}{{x}^{2}-xy}$=$\frac{2-（\frac{x}{y}）^{2}}{（\frac{x}{y}）^{2}-\frac{x}{y}}$，令$\frac{x}{y}$=t可得c≤$\frac{2-{t}^{2}}{{t}^{2}-t}$=f（t），利用导数研究函数f（t）的单调性极值与最值即可得出．

解答 解：∵不等式2y²-x²≥c（x²-xy）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，
∴c≤$\frac{2{y}^{2}-{x}^{2}}{{x}^{2}-xy}$=$\frac{2-（\frac{x}{y}）^{2}}{（\frac{x}{y}）^{2}-\frac{x}{y}}$，
令$\frac{x}{y}$=t＞1，
∴c≤$\frac{2-{t}^{2}}{{t}^{2}-t}$=f（t），
令f（t）=$\frac{2-{t}^{2}}{{t}^{2}-t}$，
则f′（t）=$\frac{{t}^{2}-4t+2}{（{t}^{2}-t）^{2}}$=$\frac{（t-2-\sqrt{2}）（t-2+\sqrt{2}）}{（{t}^{2}-t）^{2}}$，
当t＞2+$\sqrt{2}$时，f′（t）＞0，函数f（t）单调递增；当1＜t＜2+$\sqrt{2}$时，f′（t）＜0，函数f（t）单调递减；
∴当t=2+$\sqrt{2}$时，f（t）取得最小值，f（2+$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$-4．
∴实数c的最大值为2$\sqrt{2}$-4．
故答案为：2$\sqrt{2}$-4．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．