Question

已知数列A：a₁，a₂，…，a_n（0≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥3）具有性质P：对任意i，j（1≤i≤j≤n），a_j+a_i与a_j-a_i两数中至少有一个是该数列中的一项，给出下列三个结论：
①数列0，2，4，6具有性质P；
②若数列A具有性质P，则a₁=0；
③若数列a₁，a₂，a₃（0≤a₁＜a₂＜a₃）具有性质P，则a₁+a₃=2a₂．
其中，正确结论的个数是（　　）

• A、3
• B、2
• C、1
• D、0

Answer 1

考点：数列的应用

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：本题是一种重新定义问题，要我们理解题目中所给的条件，解决后面的问题，把后面的问题挨个验证，发现正确结论写到横线上．

解答： 解：①数列0，2，4，6，a_j+a_i与a_j-a_i（1≤i≤j≤3）两数中都是该数列中的项，
并且a₄-a₃=2是该数列中的项，故①正确；
②若数列{a_n}具有性质P，去数列{a_n}中最大项a_n，则a_n+a_n=2a_n与a_n-a_n=0两数中至少有一个是该数列中的一项，而2a_n不是该数列中的项，
∴0是该数列中的项，
又由0≤a₁≤a₂…≤a_n，
∴a₁=0；故②正确；
③∵数列a₁，a₂，a₃具有性质P，0≤a₁＜a₂＜a₃，
∴a₁+a₃与a₃-a₁至少有一个是该数列中的一项，且a₁=0，
1°若a₁+a₃是该数列中的一项，则a₁+a₃=a₃，
∴a₁=0，易知a₂+a₃不是该数列的项
∴a₃-a₂=a₂，∴a₁+a₃=2a₂．
2°若a₃-a₁是该数列中的一项，则a₃-a₁=a₁或a₂或a₃，
①若a₃-a₁=a₃同1°，
②若a₃-a₁=a₂，则a₃=a₂，与a₂＜a₃矛盾，
③a₃-a₁=a₁，则a₃=2a₁，
综上a₁+a₃=2a₂．故③正确．
故选：A．

点评：考查数列的综合应用，此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属中档题．