Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁底面边长均为

2

，侧棱长为1，点D在棱A₁C₁上．
（Ⅰ）若D为A₁C₁的中点，求证：直线BC₁∥平面AB₁D；
（Ⅱ）设二面角A₁-AB₁-D的平面角为θ，

A1D

=λ

A1C1

（0＜λ＜1），试探究当λ为何值时，能使tanθ=2？

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连结A₁B交AB₁于点E，利用三角形中位线定理能证明BC₁∥平面AB₁D．
（Ⅱ）法一：过点D作DM⊥A₁B₁于M，则DM⊥平面ABB₁A，过点M作MN⊥AB₁于N，连结DN，则∠MND为二面角A₁-AB₁-D的平面角，由此能求出当λ=

4

5

时，能使tan θ=2．
（Ⅱ）法二：以AB的中点O为的点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当λ=

4

5

时，能使tan θ=2．

解答： （Ⅰ）证明：连结A₁B交AB₁于点E，由E为A₁B中点，
连结DE，∵D是A₁C₁中点，
∴DE∥BC₁，
又DE?平面AB₁D，BC₁不包含于平面AB₁D，
∴BC₁∥平面AB₁D．
（Ⅱ）解法一：过点D作DM⊥A₁B₁于M，则DM⊥平面ABB₁A，
过点M作MN⊥AB₁于N，连结DN，则∠MND为二面角A₁-AB₁-D的平面角．（6分）
过点A₁作A₁F⊥AB₁于F，∵

A1D

=λ

A1C1

（0＜λ＜1），
∴

A1M

A1B1

=

A1Dcos60°

A1C1

=

λ

2

，DM=A₁Dsin 60°=

6

2

λ．（8分）
∵A₁A=1，A₁B₁=

2

，则AB₁=

3

，
∴A₁F=

A1A×A1B1

AB1

=

6

3

．（9分）
∵

MN

A1F

=

MB1

A1B1

=

A1B1-A1M

A1B1

=1-

λ

2

，∴MN=

6

3

\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-

λ

2

))．（10分）
∴tanθ=

DM

MN

=

6 2 λ

6 3 (1- λ 2 )

=

3λ

2-λ

，
由已知

3λ

2-λ

=2，解得λ=

4

5

故当λ=

4

5

时，能使tan θ=2．（13分）
（Ⅱ）解法二：以AB的中点O为的点，如图所示建立空间直角坐标系，
则A（0，-

2

2

，0），A1(0，-

2

2

，1)，B1(0，

2

2

，1)，C1(-

6

2

，0，1)，（6分）

A1D

=λ

A1C1

(0＜λ＜1)，则D（-

6

2

λ，0，1），（7分）
设

n1

=(x，y，z)为平面AB₁D的一个法向量，
由

AD

•

n1

=0，

B1D

•

n

=0，
得

n1

=(1，

3 λ

λ-2

，

6 λ

2-λ

)，（9分）
又

n2

=(1，0，0)为平面AA₁B₁的一个法向量，
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

1

1+( 3 λ λ-2 )2+( 6 λ 2-λ )2

=

2-λ

10λ2-4λ+4

，（10分）
∵tan θ=2，则cos θ=

5

5

，即cos＜n₁，n₂＞=

5

5

，
∴

2-λ

10λ2-4λ+4

=

5

5

．
化简，得5λ²+16λ-16=0，即（5λ-4）（λ+4）=0．
∵0＜λ＜1，则λ=

4

5

．
∴当λ=

4

5

时，能使tan θ=2．（13分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．