Question

11．已知m∈R，函数f（x）=x³+mx²+（m+$\frac{4}{3}$）x+6在（-∞，+∞）上有极值，求m的取值范围．

Answer 1

分析 先求出函数的导数，通过讨论判别式的符号，结合函数的单调性，从而求出m的范围．

解答 解：对函数f（x）求导得，
f′（x）=3x²+2mx+m+$\frac{4}{3}$，
令f′（x）=0，即3x²+2mx+m+$\frac{4}{3}$=0，
此一元二次不等式的判别式
△=4m²-12（m+$\frac{4}{3}$）=4m²-12m-16，
若△=0，则f′（x）=0有两个相等的实根x₀，且f′（x）的符号如下：

x	（-∞，x0）	x0	（x0，+∞）
f′（x）	+	0	+

故f（x₀）不是函数f（x）的极值
当且仅当△＞0时，函数f（x）在（-∞，+∞）上有极值．
由△=4m²-12m-16＞0得m＜-1或m＞4，
综上，实数m的取值范围为（-∞，-1）∪（4，+∞）

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，二次函数的性质，是一道中档题．