Question

7．过直线y=2x上的一点P作⊙M：（x-2）²+（y-1）²=1的两条切线l₁，l₂，A，B两点为切点．若直线l₁，l₂关于直线y=2x对称，则四边形PAMB的面积为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 本题考查了直线和圆的有关问题，结合对称性，可以判断出MP和直线y=2x对称，利用切线长相等，可以求出两个全等的三角形的面积．

解答 解：直线l₁，l₂关于直线y=2x对称，
所以PM与直线y=2x垂直，
由点到直线的距离公式可得PM=$\frac{2×2-1}{\sqrt{1+{2}^{2}}}$=$\frac{3}{\sqrt{5}}$，
因为切线长相等，△PAM≌△PBM，
所以四边形的面积为：
2×$\frac{1}{2}×1×\sqrt{（\frac{3}{\sqrt{5}}）^{2}-1}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 圆和直线的位置关系是考查的重点和难点，抓住切线长相等和对称性是解题的关键．