Question

19．如图，矩形ABCD和直角三角形ABP有共同的边AB，且PA=AD=3，DC=4，沿BD把平面DBP折起，使AC=$\sqrt{7}$．
（1）求证：PD⊥BC；
（2）求PC与平面PBD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）证明BC⊥PC，利用BC⊥CD，PC∩CD=C，证明BC⊥平面PCD，即可证明结论；
（2）利用等体积方法求出C到平面PBD的距离，即可求PC与平面PBD所成角的正弦值．

解答 （1）证明：由题意，AD=3，AC=$\sqrt{7}$，CD=4，
∴AD²+AC²=CD²，
∴CA⊥PD，
∴PC=CD=4，
∵BC=3，PB=5，
∴BC²+PC²=PB²，
∴BC⊥PC，
∵BC⊥CD，PC∩CD=C，
∴BC⊥平面PCD，
∵PD?平面PCD，
∴BC⊥PD；
（2）解：由（1）可知${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×3×\sqrt{7}$=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$，
∴${V}_{P-BCD}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•PD$=3$\sqrt{7}$，
设C到平面PBD的距离为h，则由等体积可得$\frac{1}{3}×6×4×h$=3$\sqrt{7}$，
∴h=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$，
∵PC=4，
∴PC与平面PBD所成角的正弦值为$\frac{\frac{3\sqrt{7}}{8}}{4}$=$\frac{3\sqrt{7}}{32}$．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面角，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．