Question

4．过点P（1，2）作两条直线pm，pn，分别与抛物线y²=4x相交于点M和点N，连接MN，若直线PM，PN，MN的斜率都存在且不为零，设其斜率分别为k₁，k₂，k₃，则$\frac{1}{{k}_{1}}+\frac{1}{{k}_{2}}-\frac{1}{{k}_{3}}$=1．

Answer 1

分析 设直线PM，PN的方程，代入椭圆方程即可求得M和N点坐标，即可求得根据直线的斜率公式，化简即可求得$\frac{1}{{k}_{1}}+\frac{1}{{k}_{2}}-\frac{1}{{k}_{3}}$=1．

解答 解：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线PM的方程为：y-2=k₁（x-1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}（x-1）+2}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化为：y²-$\frac{4}{{k}_{1}}$y+$\frac{8}{{k}_{1}}$-4=0，
解得y=2或y=$\frac{4}{{k}_{1}}$-2．
x₁=$\frac{{y}_{1}^{2}}{4}$=$\frac{（2-{k}_{1}）^{2}}{{k}_{1}^{2}}$，∴M（$\frac{（2-{k}_{1}）^{2}}{{k}_{1}^{2}}$，$\frac{4}{{k}_{1}}$-2）
同理可得：N（$\frac{（2-{k}_{2}）^{2}}{{k}_{1}^{2}}$，$\frac{4}{{k}_{2}}$-2）．
∴k₃=$\frac{\frac{4}{{k}_{2}}-2-（\frac{4}{{k}_{1}}-2）}{\frac{（2-{k}_{2}）^{2}}{{k}_{2}^{2}}-\frac{（2-{k}_{1}）^{2}}{{k}_{1}^{2}}}$=$\frac{{k}_{1}{k}_{2}}{（{k}_{1}+{k}_{2}）-{k}_{1}{k}_{2}}$，
$\frac{1}{{k}_{3}}$=$\frac{{k}_{1}+{k}_{2}}{{k}_{1}{k}_{2}}$-1=$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$-1，
∴$\frac{1}{{k}_{1}}+\frac{1}{{k}_{2}}-\frac{1}{{k}_{3}}$=1．
故答案为：1．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．