Question

2．已知函数f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=$\frac{1}{2}$（|x+$\frac{1}{2}$tanα|+|x+tanα|+$\frac{3}{2}$tanα）（α为常数，且-$\frac{π}{2}$＜α＜$\frac{π}{2}$），若?x∈R，都有f（x-3）≤f（x）恒成立，则实数α的取值范围是-$\frac{π}{4}$≤α＜$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 令t=$\frac{1}{2}$tanα，讨论t，把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，由对x∈R，都有f（x-3）≤f（x），可得-2t-（4t）≤3，求解该不等式得答案．

解答 解：令t=$\frac{1}{2}$tanα，则当x＞0时，f（x）=$\frac{1}{2}$（|x+t|+|x+2t|+3t），
若t≥0，则当x＞0时，f（x）=x+3t，
当x＜0时，f（x）=-f（-x）=-（-x+3t）=x-3t，
由f（x-3）≤f（x）恒成立，可得y=f（x）的图象恒在y=f（x-3）的图象上方，
则$\frac{1}{2}$tanα≥0；
当t＜0时，当x≥0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x，x≤-t}\\{t，-t＜x＜-2t}\\{x+3t，x≥-2t}\end{array}\right.$，
∴由f（x）=0可得x=-3t，即y=f（x）与x轴右侧的交点A（-3t，0）；
又y=f（x）为奇函数，故y=f（x）与x轴左侧的交点B（3t，0），|AB|=-6t．
由f（x）=x+3t，x≥-2t，得f（x）≥t；
当-t＜x＜-2t时，f（x）=t；由f（x）=-x，0≤x≤-t，得f（x）≥t．
∴当x＞0时，f（x）_min=t．
∵函数f（x）为奇函数，
∴当x＜0时，f（x）_max=-t．
∵对x∈R，都有f（x-3）≤f（x），
∴-3t-3t≤3，解得-$\frac{1}{2}$≤t＜0，
即有-$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{2}$tanα＜0，
综上可得tanα≥-1，
解得-$\frac{π}{4}$+kπ≤α＜kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
故答案为：-$\frac{π}{4}$≤α＜$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了转化思想，对任意的实数x，都有f（x-3）≤f（x）成立的理解与应用是关键，也是难点，属于难题．