Question

已知函数f（x）=sinx-3x，x∈（-2，2），如果f（1-a）+f（1-a²）＞0，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（-∞，-2）∪（1，+∞）
• B、（1，

  3

  ）
• C、（-2，1）
• D、（-1，

  3

  ）

Answer 1

考点：正弦函数的单调性,函数奇偶性的性质,奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：先利用定义及导数可判断函数f（x）的奇偶性、单调性，由函数的性质可去掉不等式中的符号“f”，从而变为具体不等式，注意考虑函数定义域．

解答： 解：∵函数f（x）=sinx-3x，x∈（-2，2），∴f（-x）=-sinx+3x=-f（x），故f（x）为奇函数．
又f′（x）=cosx-3＜0在（-1，1）上恒成立，∴f（x）在（-1，1）上单调递减．
不等式f（1-a）+f（1-a²）＞0，即f（1-a）＞f（a²-1），∴

-2＜1-a＜2 -2＜1-a2＜2 1-a＜a2-1

．
求得 1＜a＜

3

，
故选：B．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，属中档题，灵活运用函数性质去掉不等式中的符号“f”是解决本题的关键，属于基础题．